多项式(a+b+c+d)^100展开后共有多少不同的项？

(a+b+c+d)^100展开后的每一项的各个变量的幂次之和都要等于100。

因此，多项式(a+b+c+d)^100展开后的不同的项数与方程
x + y + z + w = 100
的不同的非负整数解的个数完全相同。

x + y = n,
因x可以从0变化到n，共有n+1种不同的取值.
对于x的每一种取值，y只能取固定值（n-x）.
因此，x+y=n 一共有n+1组不同的非负整数解。

结论1，x + y = n 的非负整数解的个数为 n+1。

x + y + z = n,
x + (y+z) = n,

因x可以从0变化到n，共有 n+1 种不同的取值，对于x的每一种取值，(y+z)只能取固定值（n-x）.
而根据结论1，y+z=n-x，一共有n-x+1组不同的非负整数解.
因此，x + y + z = n 的不同的非负整数解的个数为，

（n+1 - 0）+ （n+1-1）+ （n+1-2）+。。。+ [n+1-(n+1）]

= n+1 + n + (n-1) + 。。。+ 0

= (n+1)(n+2)/2。

结论2，x + y + z = n 的非负整数解的个数为 (n+1)(n+2)/2。

x + y + z + w = 100,
x + (y+z+w) = 100,

因x可以从0变化到101，共有 101 种不同的取值，对于x的每一种取值，(y+z+w)只能取固定值（100-x）.
而根据结论2，y+z+w=100-x，一共有(101-x)(102-x)/2 组不同的非负整数解.
因此，x + y + z + w = 100 的不同的非负整数解的个数为，

(101-0)(102-0)/2 + (101-1)(102-1)/2 + (101-2)(102-2)/2 + ... + (101-101)(102-101)/2

= [101*102 + 100*101 +